Интересные факты о теории вероятности

Теория вероятности — интересные факты

Теория вероятности — раздел математики, который изучает случайные события и случайные величины.  Представляем интересные факты о теории вероятности.

Метеорит

Двери, козы и автомобиль

В американском фильме «Двадцать одно» 2008 года на курсе по нелинейным уравнениям профессор попросил студентов объяснить ему метод Ньютона и его использование. После дискуссии с героем фильма, Беном Кэмпбеллом, про то, кто придумал сам метод, профессор вспоминает телешоу Морти Холла «Let’s Make A Deal» («Заключим сделку») и просит Бена аргументировать верный ответ на «парадокс Морти Холла», что и делает герой.

Сама передача, которую вспомнил профессор, была популярна в прошлом веке на американском телевидение. Суть ее проста: есть ведущий и игрок, есть три двери, за одной из которой стоит автомобиль, а за двумя — козы. Победа — угадать дверь, где находится транспортное средство. Игрок выбирает одну дверь, а ведущий, знающий расположение предметов за оными, открывает из оставшихся ту, где находится животное. И у игрока встает выбор: менять свой изначальный выбор или не стоит?

Очевидно, что проиграть можно в любом случае. Игрок воспринимает, что у него шанс 50 на 50 того, что выберет правильную дверь. Однако, стоит вспомнить самое начало. Изначально «правильная» дверь могла быть в одном случае из трех, а в двух оставшихся — 2/3 вероятности. После открытия ведущим двери с животным, на не выбранную дверь выпадает 2/3 вероятность нахождения за ней автомобильного средства, при этом на ту, что выбрал игрок так и остается 1/3. Так как 2/3 больше 1/3 выбор становится очевидным: стоит поменять дверь. Но это не меняет факта того, что изначальный выбор игрока мог быть победным.

Задача с казнью и помилованием

Так называемая «задача трёх узников» имеет много общего с вышесказанной проблемой Холла, однако у нее более жесткие условия. Вывел ее американец Мартин Гарднер в 1959 году. Представим, что есть три заключенных (первый, второй и третий), ожидающие исполнения своего приговора, а именно смертной казни. Однако, губернатор решает одного из них пощадить и оставить в живых. Знает про это надзиратель, который не имеет право называть имя помилованного ни ему самому, ни другим осужденным.

Первый узник просит сказать имя заключенного, которого казнят из тех двоих. В случае, если первого помиловали, то просьба заключенного заключалась в подбрасывании монетки и называния имени по ней (предположим, «орел» — это второй заключенный», а «решка» — третий). Узник получает ответ от надзирателя о казни второго осужденного. Поменялось ли что-то для нашего «первого»? Нет, потому что в любом случае одного из тех двоих казнили бы, и информации о себе он не смог извлечь. Однако, все же сама вероятность снизилась с двух третьих до одной второй.

Если предположить, что второй заключенный подслушал разговор «первого» с надзирателем, то тот будет знать о своей скорой смерти и о вероятности его помилования нет и речи. В случае же, если подслушает третий заключенный, то его шанс быть помилованным будет 2/3. Это произошло потому что шанс оказаться помилованным у «первого» остались прежними — 1/3, а вот из-за подтвержденных данных о скорой казни «второго» третий узник получил «бонус» в виде двух третьих.

Деньги в конвертах

Знакомый по предыдущей задачи математик Мартин Гарднер сформировал задачу о двух конвертах. В данной задаче уже участвуют двое игроков и один ведущий. Ведущий выдает участникам по конверту, в которой лежит определенные суммы. Важно то, что одна сумма больше другой в два раза (например, в первом конверте двадцать долларов, а во втором — сорок). Участники смотрят только свои суммы, а далее ведущий спрашивает их, готовы ли они на обмен. Важно! Обмен может состояться только тогда, когда оба участника согласятся на обмен в принципе.

Как же принять решение? Очевидно, что в случае, если участник у себя обнаружил, например, 20 долларов, то в конверте товарища может быть как сорок, так и десять долларов. При решении на обмен можно посчитать среднюю сумму: 1/2х10+1/2х40=25 долларов. Эта сумма больше, чем в «своем» конверте», поэтому обмен для этого участника выгоден. Такие же расчеты будет проводить и второй участник, и по его расчетам ему также будет выгоден обмен. Однако, в данной ситуации не может быть два победителя.

Если вернуться до того, как участники посмотрели свои суммы, шансы получить двойную сумму были 50 на 50 у обоих. Однако, именно наблюдение меняет все дело. Вероятность выигрышной или проигрышной суммы должна быть одинакова для соблюдения условий. Получается, что значение суммы (от нуля до бесконечности) равновероятны, что дает общую сумму в виде бесконечности, что невозможно.

Решением парадокса занимаются и по сей день. Например, Томас Кавер, профессор из Стэнфордского университета, предложил больше опираться на интуицию при решении менять или не менять конверт. Например, при обнаружении в конверте десяти долларов лучше рискнуть, потому что сумма небольшая, а вот если пятьсот или больше, то выгодней не соглашаться на обмен конвертами. Это лучше всего работает, если таких партий с конвертами много: суммарный выигрыш больше, чем, если участник придерживался тактики смены конвертов не задумываясь.

Необычные цифры в играх и природе

Очень редко в игре на кидание монетки та становится на свое ребро. Однако, если постараться и совершить миллион попыток, то встанет на ребро она 150 раз. Для этого понадобится целый год, на ребро она будет становиться раз в два дня при восьмичасовом рабочем дне. А для combo, которое ограничится всего в двух ребрах, придется потратить целых тридцать пять лет! Но это ничего по сравнению с лотереями — там шанс угадать все шесть номеров из 45 относится как один к более чем восьми миллионам! И у гроссмейстера победить человеку, не умеющему играть в шахматы, фактически невозможно. Вероятность победы составляет один к десяти в сотой степени.

Каждый человек может погибнуть от цунами, однако вероятность не так и большая — один на 500 тысяч. Такая же вероятность для конкретного человека погибнуть от астероида, однако, если он и упадет, то глобальная катастрофа может произойти только с вероятностью один к десяти миллионам.

Очень мала вероятность людей с одинаковыми отпечатками пальцев — всего один к десяти в шестидесятой степени! Да и вероятность найти иголку в стоге сена с первой попытки велика — один к ста миллионам.